Question

5．如圖，在菱形ABCD中，AC=AB=4cm，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，當(dāng)BE=1cm時，作出線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到的線段CF，并求DF的長度．連接EF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，△CEF周長有最小值？求出這個最小值．

Answer 1

分析 先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△CBE≌△ACF，即可求得BE=AF，得出DF=AE即可；分析出當(dāng)CE⊥AB時，△CEF周長最小，求出此值即可．

解答 解：如圖：

∵菱形ABCD，AC=AB，
∴AC=AB=BC，
∴∠B=∠CAB=∠DAC=∠BCA=60°，
∵線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到的線段CF，
∴∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠BCE，
∴在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠EBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∴DF=AE=4-1=3cm；
當(dāng)CE⊥AB時，△CEF周長最小，
∵△ABC是等邊三角形，AB=4，
∵CE⊥AB，
∴CE=$2\sqrt{3}$，
∵△ACF≌△BCE，
∴CF=CE=$2\sqrt{3}$，
∵線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到的線段CF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴△CEF的周長是6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出邊角關(guān)系．