Question

2．如圖1，兩條平行線m、n被直線AB所截．
操作：①在直線m上找一點C，使CA=CB；
②在線段AB上任取一點D，作DC=DE交直線n于點E（點E在點B左側(cè)）．
（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）探究∠CDE和∠BCA數(shù)量關系．
（2）當點D在AB的延長線運動時，其它條件不變，（請在圖2中畫出草圖），（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)線段垂直平分線的作法即可在直線m上找一點C，使CA=CB；
②連結(jié)CD，以D為圓心，CD長為半徑作圓弧交直線n于點E（點E在點B左側(cè)）．
（1）如圖3，作DM⊥BC于M，DN⊥EB于N，通過證明Rt△DMC≌Rt△DNE，由全等三角形的性質(zhì)和等量關系即可求解；
（2）同（1）一樣，通過全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．

解答 解：①如圖1所示：

②如圖2所示：

（1）∠CDE=∠BCA，理由如下：
證明：如圖3，作DM⊥BC于M，DN⊥EB于N，

∵CA=CB，
∴∠5=∠6，
∵m∥n，
∴∠5=∠7，
∴∠6=∠7，
在Rt△DMC與Rt△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠2}\\{∠DMC=∠DNE}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DMC≌Rt△DNE（AAS），
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠4=∠ACB，
∴∠1=∠BCA，即∠CDE=∠BCA．
（2）∠CDE=∠BCA．
如圖4：

點評 考查了作圖-復雜作圖，線段垂直平分線的作法，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是證明Rt△DMC≌Rt△DNE．