Question

9．如圖，過反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）和y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的圖象之間的點P作兩坐標軸的垂線，分別交兩坐標軸于點A，B，交兩函數(shù)圖象于點C，E，F(xiàn)，D．若四邊形OAPB與四邊形CDEF都是正方形，則正方形CDEF的面積為$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)OA=a，由四邊形OAPB是正方形，得到PA=PB=a，由于點C在y=$\frac{3}{x}$的圖象上，得出C（a，$\frac{3}{a}$），求得AC=$\frac{3}{a}$，PC=a-$\frac{3}{a}$，由于四邊形CDEF是正方形，得到PD=PC=a-$\frac{3}{a}$，由于點D在y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的圖象上，求得D（$\frac{7}{a}$，a），得到關(guān)于a的方程PD=$\frac{7}{a}$-a=a-$\frac{3}{a}$，解得a=$\sqrt{5}$，結(jié)論即可得出．

解答 解：設(shè)OA=a，
∵四邊形OAPB是正方形，
∴PA=PB=a，
∵點C在y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴C（a，$\frac{3}{a}$），
∴AC=$\frac{3}{a}$，
∴PC=a-$\frac{3}{a}$，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴PD=PC=a-$\frac{3}{a}$，
∵點D在y=$\frac{7}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴D（$\frac{7}{a}$，a），
∴PD=$\frac{7}{a}$-a=a-$\frac{3}{a}$，
∴a=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴正方形CDEF的面積=$\frac{1}{2}$×$（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}$=$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正方形的性質(zhì)，正方形面積的求法，正確識別圖形是解題的關(guān)鍵．