Question

3．如圖，在△ABC中，AB=10$\sqrt{2}$，∠BAC=60°，∠B=45°，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直徑作⊙O交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，連接OE、OF、DE、DF、EF．
（1）求$\frac{EF}{OE}$的值；
（2）當(dāng)AD運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OEDF正好是菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的最小值為5$\sqrt{3}$（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，有AD是⊙O的直徑，得到∠DEA=90°，由三角形的內(nèi)角和得到∠EDA=60°，推出△OED是等邊三角形，得到ED=OE，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）由垂線的性質(zhì)可知，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，直徑AD最短，即⊙O最小，即EF由最小值，連接OE，OF，過(guò)O作OH⊥EF于H，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴$\frac{EF}{OE}$=$\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形OEDF是菱形，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BAD=30°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠DEA=90°，
∴∠EDA=60°，
∵OE=OD，
∴△OED是等邊三角形，即ED=OE，
∴OE=OF=DE=DF，
∴四邊形OEDF是菱形；
（3）由垂線的性質(zhì)可知，
當(dāng)AD⊥BC時(shí)，直徑AD最短，即⊙O最小，即EF有最小值，
如圖，過(guò)O作OH⊥EF于H，
在Rt△ADB中，
∵∠ABC=45°，AB=10$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=10，
即此時(shí)，⊙O的直徑為10，
∵∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOH=∠BAC=60°，
∴EH=OE•sin∠EOH=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
由垂徑定理可得EF=2EH=5$\sqrt{3}$．
線段EF的最小值為5$\sqrt{3}$，
故答案為：5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿(mǎn)足條件的最小圓．