Question

1．已知一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如圖1所示．
（1）填空：AB=5，BC=$5\sqrt{2}$；
（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
①當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-2）或（0，8）；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；
（2）因?yàn)锽（0，3），所以O(shè)B=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；
（3）過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，證明△AOB≌△CFA，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)AC∥BD，所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
故答案為：5；$5\sqrt{2}$．
（2）①如圖，

∵B（0，3），
∴OB=3，
∵AB=5，
∴AO=AB-BO=5-3=2，
∴A（0，-2）或（0，8）
故答案為：（0，-2）或（0，8）
（3）如圖，

過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAF=∠OBA，
在△AOB和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFA=∠AOB=9{0}^{°}}\\{∠CAF=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CFA（AAS）；
∴OA=CF=4，OB=AF=3，
∴OF=7，CF=4，
∴C（-7，4）
∵A（-4，0）
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
將A與C坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-7k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
則直線AC解析式為y=$-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$，
∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD=∠CAB=90°，
∴AC∥BD，
∴設(shè)直線BD的解析式為y=$-\frac{4}{3}$x+b₁，
把B（0，3）代入解析式的：b₁=3，
∴直線BD的解析式為y=$-\frac{4}{3}$x+3．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．