Question

2．在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，E在⊙O中，點(diǎn)D為弦AB上一點(diǎn)，連接BE，CE，AC，若BD=CD，CD∥BE．
（1）如圖1，求證：CE=AC；
（2）若點(diǎn)D與O重合，如圖2，連接AE、BC，作EH⊥BC于H，CK⊥AB于K，求證：AE=2HK．
（3）在（2）的條件下，如圖2，BK=3HK，EC=4$\sqrt{10}$，求BH長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BC．只要證明∠EBC=∠CBA，推出$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，即可證明．
（2）如圖2中，延長CK交⊙O于F，連接EF交BC于H′，連接AF．利用同一法證明H與H′重合，再證明AE=CF，CF=2HK即可．
（3）利用tan∠CBA=$\frac{1}{3}$，求出BC、AB、CK，在Rt△CHF中，利用tan∠CFH=$\frac{1}{3}$，求出CH即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，連接BC．

∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵CD∥BE，
∴∠EBC=∠BCD，
∴∠EBC=∠CBD，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，
∴EC=AC．

（2）如圖2中，延長CK交⊙O于F，連接EF交BC于H′，連接AF．

∵∠EBC=∠EFC，∠BEF=∠FAB，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EFC=∠CFA，
∵∠AFK+∠FAB=90°，
∴∠EBC+∠AEF=90°，
∴∠BH′E=90°，
∴EH′⊥BC，∵EH⊥BC，
∴H與H′重合，
∵AB⊥CF，
∴CK=KF，$\widehat{AC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CF}$，
∴AE=CF，
在Rt△CHF中，HK=$\frac{1}{2}$CF，
∴AE=CF=2HK．

（3）∵BK=3HK=3CK，
∴tan∠CBA=$\frac{CK}{BK}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵AC=CE=4$\sqrt{10}$，
∴BC=12$\sqrt{10}$，
∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（12\sqrt{10}）^{2}+（4\sqrt{10}）^{2}}$=40，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CK=$\frac{1}{2}$•BC•AC，
∴CK=$\frac{BC•AC}{AB}$=12，
∴CF=2CF=24，
∵tan∠CFH=tan∠CBA=$\frac{CH}{FH}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)HC=a，F(xiàn)H=3a，
∴a²+（3a）²=24²，
∴a=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴HC=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴BH=BC-CH=12$\sqrt{10}$-$\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{48\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)利用同一法證明H與H′重合，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．