Question

18．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BOC=2∠AOC，過(guò)點(diǎn)A作直線DF∥OC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：∠BAC=2∠ABC；
（2）若∠BAC=40°，AB=3.2，BD=4．
①求∠BAF的度數(shù)；②求$\frac{AF}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理和等量代換即可得到結(jié)論．
（2）①根據(jù)∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠BAC=40°，求得∠BOC=2∠BAC=80°，由（1）知，∠BAC=2∠ABC，于是得到∠ABC=20°，∠ACD=∠BAC+∠ABC=60°，由四邊形AFBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，得到∠F=∠ACD=60°，由于OB=OC，求得∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠OCB=50°，由于∠DBF=180°-∠F-∠D，于是求得∠DBF=180°-60°-50°=70°；
②由①得∠ABC=20°，∠D=50°，證得∠BAF=∠DBF，由于∠F=∠F，推出△ABF∽△BDF，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BOC=2∠AOC，
∴∠BAC=∠AOC=2∠ABC；

（2）解：①∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠BAC=40°，
∴∠BOC=2∠BAC=80°，由（1）知，∠BAC=2∠ABC，
∴∠ABC=20°，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=60°，
∵四邊形AFBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠F=∠ACD=60°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°，
∵DF∥OC，
∴∠D=∠OCB=50°，
∵∠DBF=180°-∠F-∠D，
∴∠DBF=180°-60°-50°=70°，
②由①得∠ABC=20°，∠D=50°，
∴∠BAF=∠ABD+∠D=20°+50°=70°，
∵∠DBF=70°，
∴∠BAF=∠DBF，
∵∠F=∠F，
∴△ABF∽△BDF，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{BF}$=$\frac{3.2}{4}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．