Question

18．如圖，H為△ABC的垂心，圓O為△ABC的外接圓．點E、F為以C為圓心、CH長為半徑的圓與圓O的交點，D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點．求證：
（1）AC垂直平分線段HE；
（2）DE=AB．

Answer 1

分析 （1）如圖根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)得到∠AHC+∠ABC=180°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEC+∠ABC=180°，等量代換得到∠AEC=∠AHC，于是得到AE=AH，即可得到結(jié)論；
（2）由D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點，推出CD為圓O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到DA⊥AC，推出B、H、E三點共線，證得$\widehat{DAE}=\widehat{ADB}$，根據(jù)圓的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，連結(jié)AH，AE，EC，
由H為△ABC的垂心知，∠AHC+∠ABC=180°，
由A、B、C、E四點共圓，得∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC=∠AHC，
∵CH=CE，
∴∠CEH=∠CHE，
∴∠AEH=∠AHE，AE=AH，
∴AC垂直平分線段HE；

（2）連結(jié)CF，BH，
∵CE=CH=CF，
∵D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點，
∴CD為圓O的直徑，
∴DA⊥AC，
∵H為△ABC的垂心知，HE⊥AC，BH⊥AC，
∴B、H、E三點共線，
∴BE⊥AC，
∴∠DCE=90°-∠CDE=90°-∠CBE=∠ACB，
∴$\widehat{DAE}=\widehat{ADB}$，
∴DE=AB．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三點共線，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形的垂心的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用三角形垂心的性質(zhì)得到B、H、E三點共線是解題的關(guān)鍵．