Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，點(diǎn)E是弧AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的切線與AD交于點(diǎn)F，與CD交于點(diǎn)H． 
（1）求△DFH的周長(zhǎng)；
（2）求證：∠FBH=45°；
（3）設(shè)正方形的對(duì)角線AC交BF于P，交BH于Q，如果AP=x，CQ=y，求y與x之間滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB⊥AD，BC⊥CD，推出DA和CD都是圓B的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得出FE=FA，HE=HC，代入求出即可；
（2）首先利用切線的性質(zhì)得BE⊥FH，易得Rt△ABF≌Rt△EBF，Rt△EBH≌Rt△CBH，由全等三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠EBF，∠EBH=∠CBH，證得∠FBH=45°；
（3）首先利用外角的性質(zhì)得∠ABQ=∠CPB，易得△ABQ∽△CPB，利用相似三角形的性質(zhì)得AB：CP=AQ：CB，代入整理即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圓B的切線，
∵FH切圓B于E，
∴FE=FA，HE=HC，
∴△DFH的周長(zhǎng)是DF+FE+HE+DH=DF+FA+HC+DH=AD+CD=2$\sqrt{2}$；

（2）證明：連接BE，
∵FH是圓B的切線，
∴BE⊥FH，
∴∠FEB=∠HEB=90°，
在Rt△ABF與Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FE}\\{FB=FB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△EBF（HL），
∴∠ABF=∠EBF，
在Rt△EBH與Rt△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{EH=CH}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBH≌Rt△CBH，
∴∠EBH=∠CBH，
∵∠ABC=∠ABF+∠EBF+∠EBH+∠CBH=90°，
∴$∠FBH=∠EBF+∠EBH=\frac{1}{2}∠ABC=45°$；

（3）解：∵∠CPB=∠BAC+∠ABP，∠ABQ=∠ABP+∠PBQ，∠BAC=∠PBQ=45°，
∴∠ABQ=∠CPB，
∵∠BAC=∠ACB=45°，
∴△ABQ∽△CPB，
∴AB：CP=AQ：CB，
∵AB=BC=$\sqrt{2}$，AC=2，CP=2-y，AQ=2-x，
∴$\sqrt{2}$：（2-y）=（2-x）：$\sqrt{2}$，
所以X與y之間的關(guān)系為 （2-x）（2-y）=2 或y=$\frac{2x-2}{x-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理，切線的判定，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．