Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，經(jīng)過A（0，-4）、它的對(duì)稱軸為 x=-$\frac{7}{2}$，它與x軸相交于B、C．
（1）求b、c的值；
（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得對(duì)任意一點(diǎn)E，四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，可得c的值，根據(jù)對(duì)稱軸公式，可得b的值；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)稱軸垂直且互相平分，可得D是拋物線的頂點(diǎn)；
（3）根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直且互相平分，可得P是直線x=-3與拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4的交點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相平分、垂直，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，-4），
∴c=-4．
對(duì)稱軸x=-$\frac{2×（-\frac{2}{3}）}$=-$\frac{7}{2}$，
解得b=-$\frac{14}{3}$；
（2）∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上，
又∵y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{6}$
∴拋物線的頂點(diǎn)（-$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）即為所求的點(diǎn)D；
（3）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4=0，解得x=-6或x=-1，即B（-6，0），
∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，0），
點(diǎn)P必是直線x=-3與拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x-4的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=-$\frac{2}{3}$×（-3）²-$\frac{14}{3}$×（-3）-4=4，
∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，
∵如果四邊形BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（-3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上，
四邊形BPOH不能成為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了對(duì)稱軸公式，菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線垂直且互相平分，正方形的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線相等且互相平分、垂直．