Question

13．如圖，在正方形ABCD中，EB=$\frac{1}{4}$AB，F(xiàn)G⊥ED，EF²=EG•ED，求證：BF=FC．

Answer 1

分析 由已知條件得到△EGF∽△EFD，于是得到∠EFD=90°，推出△BEF∽△CFD，得到$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，即$\frac{\frac{1}{4}AB}{CF}=\frac{AB-CF}{AB}$，得到方程CF²-CF+$\frac{1}{4}$=0，解得CF=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB，即可得到結論．

解答 證明：∵EF²=EG•ED，∠E=∠E，
∴△EGF∽△EFD，
∵FG⊥ED，
∴∠EFD=90°，
∴∠BFE=∠CDF=90°-∠DFC，
∵∠B=∠C，
△BEF∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，即$\frac{\frac{1}{4}AB}{CF}=\frac{AB-CF}{AB}$，
設AB=1，
則CF²-CF+$\frac{1}{4}$=0，
解得：CF=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=FC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．