Question

15．如圖，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OC，過點(diǎn)A作⊙O的切線，與BC的延長線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）填空：①當(dāng)CE=2時(shí)，四邊形AOCE為正方形；
②當(dāng)CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，△CDE為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）連接AC、OE，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到EA=EC，則可證明△OCE≌△OAE，得到∠OCE=∠OAE=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到CE是⊙O的切線；
（2）①由C為邊BD的中點(diǎn)，而E為AD的中點(diǎn)，則CE為△BAD的中位線，得到CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB=OA，則可先判定四邊形OAEC為平行四邊形，加上∠OAE=90°，OA=OC，于是可判斷四邊形OCEA是正方形，易得CE=OA=2；
②連接AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠D=60°，∠ABD=30°，在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=$\frac{1}{2}$AB=2，然后在Rt△ACD中，利用∠D的正切函數(shù)可計(jì)算出CD，即可得出CE的長．

解答 （1）證明：連接AC、OE，如圖（1），
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ACD為直角三角形，
又∵E為AD的中點(diǎn)，
∴EA=EC，
在△OCE和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{OE=OE}\\{EC=EA}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OAE（SSS），
∴∠OCE=∠OAE=90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：①C在線段BD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AOCE為正方形．理由如下：
當(dāng)C為邊BD的中點(diǎn)，而E為AD的中點(diǎn)，
∴CE為△BAD的中位線，
∴CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴四邊形OAEC為平行四邊形，
∵∠OAE=90°，
∴平行四邊形OCEA是矩形，
又∵OA=OC，
∴矩形OCEA是正方形，
∴CE=OA=2，
故答案為：2；

②連接AC，如圖（2），
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，
在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ACD中，∵tan∠D=$\frac{AC}{CD}$，
∴CD=$\frac{2}{tan60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、平行四邊形的判定、正方形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．