Question

11．如圖，在?ABCD中，以BC為斜邊在?ABCD內(nèi)作等腰直角△BCE，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交AD于點(diǎn)F，∠CDE=∠CED=∠DCB．
（1）若BC=2$\sqrt{2}$，求AE的長(zhǎng)；
（2）連接FB，求證：EF+FA=FB．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠DCE=30°，推出△AEB是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題；
（2）在FD上取一點(diǎn)H，使得FH=FE．先證明△FHE是等邊三角形，再證明△HEA≌△FEB即可解決問(wèn)題；

解答 （1）解：在Rt△BCE中，∵CE=EB，BC=2$\sqrt{2}$，
∴EC=EB=2，設(shè)∠CDE=∠CED=∠DCB=x，
則有：45°+$\frac{1}{2}$（180°-2x）=x，
解得x=75°，
∴∠DCB=30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=180°-∠DCB=120°，
∵∠EBC=45°，
∴∠ABE=60°，
∵CD=CE=EB=AB，
∴△AEB是等邊三角形，
∴AE=BE=2．

（2）在FD上取一點(diǎn)H，使得FH=FE．
∵∠DEF=∠CEB=90°，∠DEC=∠DAB=75°，
∴∠BEF=105°，
∴∠FAB+∠FEB=180°，
∴∠AFE=180°-∠ABE=120°，
∴△HFE=60°，
∴△FHE是等邊三角形，
∴∠HEF=∠AEB，
∴∠HEA=∠FEB，∵EH=EF，EA=EB，
∴△HEA≌△FEB，
∴AH=FB，
∴AF+FH=FB，∵FH=FE，
∴EF+FA=FB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△ABE是等邊三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．