Question

11．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG=AD，動點M從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A，G重合），設(shè)運動時間為t秒，連接BM并延長交AG于N．
（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由；
（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=HN；
（3）過點M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S 關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）四種情況：當點M為AC的中點時，AM=BM；當點M與點C重合時，AB=BM；當點M在AC上，且AM=2時，AM=AB；當點M為CG的中點時，AM=BM；△ABM為等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①當M在AC上時，即0＜t≤2$\sqrt{2}$時，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求出S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{4}$t²；當t=2$\sqrt{2}$時，即可求出S的最大值；
②當M在CG上時，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$時，先證明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得出S=S_△ACG-S_△CMJ-S_△FMG．

解答 解：（1）點M為AC中點時，AM=BM，△ABM為等腰三角形
點M與點C重合時，AB=BM，△ABM為等腰三角形
點M為在AC上，且AM=2時，AB=AM，△ABM為等腰三角形
點M為CG中點時，AM=BM，△ABM為等腰三角形；

（2）（2）證明：在AB上截取AK=AN，連接KN；如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠CDG=90°，
∵BK=AB-AK，ND=AD-AN，
∴BK=DN，
∵DH平分∠CDG，
∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°，
∴∠BKN=180°-∠AKN=135°，
∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，
又∵BN⊥NH，
即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°-∠BNH=90°，
∴∠ABN=∠DNH，
∴BNK≌△NHD（ASA），
∴BN=NH．
（3）①當點M在AC上時，即0＜t≤2$\sqrt{2}$時，易知：△AMF為等腰直角三角形．
∵AM=t，∴AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}t$．
∴S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}t$•$\frac{\sqrt{2}}{2}t$=$\frac{1}{4}$t²；
當點M在CG上時，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$時，CM=t-2$\sqrt{2}$，MG=4$\sqrt{2}$-t．
∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，
∴△ACD≌△GCD（SAS），
∴∠ACD=∠GCD=45°
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°
∴∠G=90-∠GCD=90°-45°=45°
∴△MFG為等腰直角三角形．
∴FG=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，
∴S=S_△ACG-S_△ACJ-S_△FMC=$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×CM•CM-$\frac{1}{2}$FG•FM
=4-$\frac{1}{2}$（t-2$\sqrt{2}$）2-$\frac{1}{2}（4-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$t²+4$\sqrt{2}$t-8
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤2\sqrt{2}）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+4\sqrt{2}t-8（2\sqrt{2}＜t＜4\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要進行分類討論，通過證明三角形全等和等腰直角三角形才能得出結(jié)果．