Question

1．如圖1，在平面直角坐標系中，點M為拋物線y=-x²+4的頂點，點A，B（點A與點M不重合）為拋物線上的動點，且AB∥x軸，以AB為邊畫矩形ABCD，點M在CD上，連結AC交拋物線于點E．
（1）當點A，B在x軸上時，求AE和CE的長；
（2）如圖2，當原點O在AC上時，求直線AC的解析式；
（3）在點A，B的運動過程中，$\frac{AE}{EC}$是否為定值？如果是，請求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=-x²+4=0，解之即可得出點A、B的坐標，根據(jù)拋物線的解析式結合矩形的性質(zhì)即可得出點C、D、M的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式成方程組，通過求方程組即可求出點E的坐標，再利用兩點間的距離公式即可求出AE和CE的長；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結合點O在AC上即可得出點A、C關于原點對稱，設點C的坐標為（m，4），則點A的坐標為（-m，-4）（m＞0），由點A在拋物線上即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m值，再將m值代入點A、C的坐標中，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（3）設點A的縱坐標為n（n＜4），則點A的坐標為（-$\sqrt{4-n}$，n），點C的坐標為（$\sqrt{4-n}$，4），利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式成方程組，通過解方程組找出點E的坐標，再由點A、E、C三點共線結合三點的橫坐標即可求出$\frac{AE}{EC}$的值，此題得解．

解答 解：（1）令y=-x²+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴點A（-2，0），點B（2，0）．
∵點M為拋物線y=-x²+4的頂點，四邊形ABCD為矩形，
∴點M（0，4），點D（-2，4），點C（2，4）．
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-2，0）、C（2，4）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+2．
聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴點E（1，3），
∴AE=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）由拋物線的對稱性可知：點A、B關于y軸對稱，
∴點A、C關于原點對稱．
設點C的坐標為（m，4），則點A的坐標為（-m，-4）（m＞0）．
∵點A（-m，-4）在拋物線y=-x²+4上，
∴-4=-m²+4，解得：m=4$\sqrt{2}$，
∴點C（4$\sqrt{2}$，4）．
設直線AC的解析式為y=k₁x，
將C（4$\sqrt{2}$，4）代入y=k₁x，
4=4$\sqrt{2}$k，解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴當原點O在AC上時，直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（3）設點A的縱坐標為n（n＜4），則點A的坐標為（-$\sqrt{4-n}$，n），點C的坐標為（$\sqrt{4-n}$，4），
設直線AC的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0），
將A（-$\sqrt{4-n}$，n）、C（$\sqrt{4-n}$，4）代入y=k₂x+b₂，
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{4-n}{k}_{2}+_{2}=n}\\{\sqrt{4-n}{k}_{2}+_{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{\sqrt{4-n}}{2}}\\{_{2}=\frac{4+n}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{4-n}}{2}$x+$\frac{4+n}{2}$．
聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{4-n}}{2}x+\frac{4+n}{2}}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\sqrt{4-n}}\\{{y}_{1}=n}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{4-n}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{12+n}{4}}\end{array}\right.$，
∴點E（$\frac{\sqrt{4-n}}{2}$，$\frac{12+n}{4}$）．
又∵點A、E、C三點共線，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{\sqrt{4-n}}{2}-（-\sqrt{4-n}）}{\sqrt{4-n}-\frac{\sqrt{4-n}}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{4-n}}{\frac{1}{2}\sqrt{4-n}}$=3．
∴在點A，B的運動過程中，$\frac{AE}{EC}$為定值3．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、解二元二次方程組、矩形的性質(zhì)以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點E的坐標；（2）根據(jù)點A、C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點E的坐標．