Question

10．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤長15m）為一邊，用總長為80m的柵欄圍在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為y m²．
（1）用含x的代數(shù)式表示BE的長：BE=-$\frac{1}{4}$x+10；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；
（3）求x為何值時，y有最大值，最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設(shè)BE=a，則有AE=2a，根據(jù)圍欄的總長為80m表示出a；
（2）表示出AB的長，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．

解答 解：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，
∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，
∴AE=2BE，
設(shè)BE=FC=a，則AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=-$\frac{1}{4}$x+10，即BE=-$\frac{1}{4}$x+10，
故答案為：-$\frac{1}{4}$x+10；

（2）由（1）知3a=-$\frac{3}{4}$x+30，
∴y=（-$\frac{3}{4}$x+30）x=-$\frac{3}{4}$x²+30x，
∵a=-$\frac{1}{4}$x+10＞0，
∴15≤x＜40，
則y=-$\frac{3}{4}$x²+30x（15≤x＜40）；

（3）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+30x=-$\frac{3}{4}$（x-20）²+300（0＜x＜40），且二次項系數(shù)為-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當(dāng)x=20時，y有最大值，最大值為300平方米．

點評 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)題意表示出矩形的寬并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．