Question

8．如圖，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P，C為AP的中點(diǎn)，PB⊥x軸于點(diǎn)B
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）中，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，根據(jù)菱形的特點(diǎn)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線y=$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0，則y=2；令y=0，則x=-4；
∴A（-4，0），C（0，2）；
∵C為AP的中點(diǎn)，
∴P（4，4），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，
∴m=4×4=16；
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{16}{x}$；
（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E，
∵四邊形BCPD為菱形，
∴PB⊥CD，
∵C為AP的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=4
∴CE=DE=4，
∴CD=8，
將x=8代入反比例函數(shù)y=$\frac{16}{x}$得y=2，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，2）
∴則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，2）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．