Question

4．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC的斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E．B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧BE的長(zhǎng)為$\frac{2π}{3}$，則圖中陰影部分的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數(shù)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC，AC的長(zhǎng)，利用S_△ABC-S_扇形BOE=圖中陰影部分的面積求出即可．

解答 解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵$\widehat{BE}$的長(zhǎng)為$\frac{2}{3}π$，
∴$\frac{60π×R}{180}$=$\frac{2}{3}π$，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S_△ABC-S_扇形BOE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}π$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{2}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關(guān)鍵．