Question

14．已知拋物線y=ax²-2ax+n（a＞0）與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）．交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且x₁＜x₂，OC=OB，S_△ABC=6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且在第二象限，S_△PBD=15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式，可用n表示出C、B的坐標(biāo)（OB=OC），易求得拋物線的對稱軸方程，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到AB的長，利用△ABC的面積即可求得n的值，從而求出A、B、C的坐標(biāo)，然后利用交點(diǎn)式求拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)D作EF∥x軸，作PE⊥EF于E，BF⊥EF于F，如圖，先確定D（1，-4），根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（t，t²-2t-3），由于S_梯形PEFB-S_△PED-S_△DBF=S_△PBD，所以$\frac{1}{2}$（4+t²-2t-3+4）•（3-t）-$\frac{1}{2}$•（t²-2t-3+4）•（1-t）-$\frac{1}{2}$•4•（3-1）=15，然后解方程求出t的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=0，則C（0，n），
∵OC=OB，
∴B（-n，0），
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴A（2+n，0），
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$•（-n-2-n）•（-n）=6，
整理得n²+2n-6=0，解得n₁=-3，n₂=2（舍去），
∴C（0，-3），A（-1，0），B（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）過點(diǎn)D作EF∥x軸，作PE⊥EF于E，BF⊥EF于F，如圖，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則D（1，-4），
設(shè)P（t，t²-2t-3），
∵S_梯形PEFB-S_△PED-S_△DBF=S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$（4+t²-2t-3+4）•（3-t）-$\frac{1}{2}$•（t²-2t-3+4）•（1-t）-$\frac{1}{2}$•4•（3-1）=15，
整理得t²-4t-12=0，解得t₁=-2，t₂=6（舍去），
∴P（-2，5）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．