Question

1．如圖，坐標(biāo)系xOy中，直線$\frac{4}{3}x+8$與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線AC平分∠BAO，交y軸于點C，交過點B且平行于x軸的直線于點D．
（1）求直線AC的解析式；
（2）動點P從點A出發(fā)，沿折線ABD以每秒2個單位長的速度向終點D勻速運動（點P不與點B重合），連結(jié)PC，設(shè)△PBC的面積為S（平方單位），動點P運動的時間為t（單位：秒），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，以C點為圓心，以1.8個單位長為半徑作⊙C，作直線OP，問t為何值時，直線OP與⊙C相切？并求此時直線OP與直線AD所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析 （1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，先求得A，B兩點的坐標(biāo)，然后再求得AB的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：CE=OC，然后由S_△ABO=S_△ABC+S_△AOC可求得OC的長，然后利用待定系數(shù)法可求得AC的解析式；
（2）如圖2所示；過點P作PE⊥OB，垂足為E．由PE∥OA可知$\frac{PE}{AO}=\frac{PB}{AB}$，從而得到PE=6-$\frac{6}{5}t$，然后利用三角形的面積公式求解即可；如圖3所示，當(dāng)點P位于BD上時，PB=2t-10，然后利用三角形的面積公式求解即可；
（3）連接CE．由OP與圓C相切，可求得tan∠ECO=$\frac{4}{3}$，從而求得直線OP的解析式為y=$-\frac{4}{3}x$，然后可解得點P的坐標(biāo)為（-3，4）；點F的坐標(biāo)為（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$），由兩點間的距離公式求得CF的長，接下來根據(jù)勾股定理求得EF的長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．

解答 解：（1）如圖1所示：過點C作CE⊥AB，垂足為E．

令y=0得；$\frac{4}{3}x+8$=0，解得：x=-6，
∴點A的坐標(biāo)為（-6，0）．
令x=0得；y=8，
∴點B的坐標(biāo)為（0，8）．
在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$．
∵AC平分∠BAO，OC⊥AO，CE⊥AB，
∴CE=OC．
∵S_△ABO=S_△ABC+S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}AO•OB=\frac{1}{2}AB•CE+\frac{1}{2}AO•OC$．
∴$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×EC+\frac{1}{2}×6×OC$．
∴24=5EC+3OC．
∴OC=3．
∴點C的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}x+3$．
（2）如圖2所示；過點P作PE⊥OB，垂足為E．

∵AO⊥OB，PE⊥OB，
∴PE∥OA．
∴$\frac{PE}{AO}=\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PE}{6}=\frac{10-2t}{10}$．
∴PE=6-$\frac{6}{5}t$，
∴△BCP的面積=$\frac{1}{2}BC•PE$=$\frac{1}{2}×（8-3）×（6-\frac{6}{5}t）$=15-3t（0≤t＜5）．
如圖3所示，當(dāng)點P位于BD上時，．

將y=8代入y=$\frac{1}{2}x+3$得；$\frac{1}{2}x+3=8$，
解得：x=10．
PB=2t-10．
∴△PBC的面積=$\frac{1}{2}BC•BP$=$\frac{1}{2}×5×（2t-10）$=5t-25（5＜t≤10）．
綜上所述，s與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{15-3t（0≤t＜5）}\\{5t-25（5＜t≤10）}\end{array}\right.$．
（3）如圖4所示，連接CE．

∵OP與圓C相切，切點為C，
∴CE⊥OP．
∴cos∠ECO=$\frac{3}{5}$．
∴tan∠ECO=$\frac{4}{3}$．
∴直線OP的解析式為y=$-\frac{4}{3}x$．
將y=$-\frac{4}{3}x$與y=$\frac{4}{3}x+8$聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{4}{3}x+8}\end{array}\right.$，
解得；$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標(biāo)為（-3，4）．
由兩點間的距離公式得：AP=$\sqrt{[-6-（-3）]^{2}+（4-0）^{2}}$=5．
∴2t=5．
∴t=2.5．
將y=$\frac{1}{2}x+3$與y=$-\frac{4}{3}x$聯(lián)立得；$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{18}{11}}\\{y=\frac{24}{11}}\end{array}\right.$．
∴點F的坐標(biāo)為（$-\frac{18}{11}$，$\frac{24}{11}$）．
由兩點間的距離公式得；CF=$\sqrt{（\frac{18}{11}）^{2}+（3-\frac{24}{11}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{11}$．
在Rt△ECF中，EF=$\sqrt{F{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\frac{18}{55}$．
∴tan∠CFE=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{11}{2}$．
如圖5所示：連接CE．

∵OP是圓C的切線，
∴CE⊥OP．
∵OC=3，OE=1.8．
由勾股定理得：OE=2.4．
∴tan$∠OCE=\frac{4}{3}$．
∴直線OP的解析式為y=$\frac{4}{3}x$．
令y=8得：$\frac{4}{3}x=8$，解得：x=6．
∴點P的坐標(biāo)為（6，8）．
∴2t=10+6．
解得t=8．
將y=$\frac{1}{2}x+3$與y=$\frac{4}{3}x$聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$
∴點F的坐標(biāo)為（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）．
由兩點間的距離公式得：CF²=$（\frac{18}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}-3）^{2}$=$\frac{81}{5}$．
在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{81}{5}-（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$．
tan∠CFE=$\frac{EC}{EF}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形的面積公式、切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點間的距離公式，求得直線OP的解析式以及點P和點F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．