Question

12．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6）．點(diǎn)Q從B向O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)時(shí)同出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)伺時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q、C三點(diǎn)共線；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)共線時(shí)，根據(jù)直線PC與直線OB相交來(lái)解答；
（3）需要分類討論：OP=OQ、OP=PQ、OQ=PQ．

解答 解：（1）∵在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），
∴OA=8，AB=6，
∴由勾股定理得到：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，
則QD∥BA，
∴△OQD∽△ABA，
∴$\frac{QD}{BA}$=$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$，即$\frac{QD}{6}$=$\frac{10-t}{10}$=$\frac{OD}{8}$，
則QD=6-$\frac{3}{5}$t，OD=8-$\frac{4}{5}$t．
故Q（8-$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{3}{5}$t）；

（2）當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)共線時(shí)，C（0，6），P（t，0）．
直線CP的解析式為：y=-$\frac{6}{t}$x．
由O（0，0），B（8，6）得到直線OB的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{t}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{8}{t}$．
則8-$\frac{4}{5}$t=-$\frac{8}{t}$，
解得t=5+$\sqrt{15}$（舍去）或t=5-$\sqrt{15}$
當(dāng)t=5-$\sqrt{15}$時(shí)，P、Q、C三點(diǎn)共線；

（3）①當(dāng)OP=OQ時(shí)，10-t=t，則t=5；
②當(dāng)OP=PQ=t時(shí)，（8-$\frac{4}{5}$t-t）²+（6-$\frac{3}{5}$t）²=t²，
解得t=10（舍去）或t=$\frac{25}{13}$．
③當(dāng)OQ=PQ=10-t時(shí)，（t-8+$\frac{4}{5}$t）²+（6-$\frac{3}{5}$t）²=（10-t）²，
解得t=0（舍去）或t=$\frac{80}{13}$（舍去）．
綜上所述，當(dāng)t的值為5或$\frac{25}{13}$時(shí)，△OPQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題．解題時(shí)，利用了待定系數(shù)法求直線方程，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解答（3）題時(shí)，需要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．