Question

3．已知，拋物線y=ax²+bx+3（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE=$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；
（3）在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使S_△ACP=$\frac{1}{2}$S_△ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱軸求出B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線解析式，即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理證出△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．得出AD為△ACD外接圓的直徑，再證明△AED為直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出結(jié)論；
（3）求出直線AC的解析式，再求出線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，過點(diǎn)N作NP∥AC，交拋物線于點(diǎn)P，求出直線NP的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可得出答案；
（4）由相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，點(diǎn)A（3，0），
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），OA=3，
將A（3，0），B（-1，0）代入拋物線解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=4，
∴頂點(diǎn)D（1，4）．
（2）當(dāng)=0時(shí)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．
∴AD為△ACD外接圓的直徑，
∵點(diǎn)E在 軸C點(diǎn)的上方，且CE=$\frac{1}{2}$．
∴E（0，$\frac{7}{2}$）
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$DE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DE²+AD²=AE²，
∴△AED為直角三角形，∠ADE=90°．
∴AD⊥DE，
又∵AD為△ACD外接圓的直徑，
∴DE是△ACD外接圓的切線；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴直線AC的解析式為y=-x+3，
∵A（3，0），D（1，4），
∴線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），
過點(diǎn)N作NP∥AC，交拋物線于點(diǎn)P，
設(shè)直線NP的解析式為y=-x+c，
則-2+c=2，解得：c=4，
∴直線NP的解析式為y=-x+4，
由y=-x+4，y=-x²+2x+3聯(lián)立得：-x²+2x+3=-x+4，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴y=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，或y=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
∴P（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）；
（4）分三種情況：①M(fèi)恰好為原點(diǎn)，滿足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x軸正半軸上，△MCB∽△ACD，此時(shí)M（9，0）；
③M在y軸負(fù)半軸上，△CBM∽△ACD，此時(shí)M（0，-$\frac{1}{3}$）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切線的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．