Question

11．拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（-1，2），與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b²-4ac＜0；②a+b+c＞0；③c-a=2；④方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ③④
• B． ②④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 利用拋物線與x軸有2個交點(diǎn)和判別式的意義可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，則x=1時，a-b+c＜0，則可對②進(jìn)行判斷；由拋物線的對稱軸方程得到b=2a，而x=-1時，a-b+c=2，則a-2a+c=2，、于是可對③進(jìn)行判斷；利用拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（-1，2），可得到拋物線與直線y=2只有一個公共點(diǎn)，于是可對④進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，所以①錯誤；
∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（-1，2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，
而拋物線與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)A在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴x=1時，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以②錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵x=-1時，y=2，
即a-b+c=2，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正確；
∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D（-1，2），
即x=-1時，y有最大值2，
∴拋物線與直線y=2只有一個公共點(diǎn)，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。�當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．