Question

18．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C，且點(diǎn)B₁在線段BA延長線上（如圖）．
（1）求證：BB₁∥CA₁；
（2）求△A₁B₁C的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出∠B₁CA₁=∠AB₁C，即可得出結(jié)論；
（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出BD，DCBC，由勾股定理求出AD，求出△ABC的面積，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出△A₁B₁C的面積．

解答 （1）證明：∵AB=AC，B₁C=BC，
∴∠AB₁C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB₁C=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），
∴∠B₁CA₁=∠AB₁C，
∴BB₁∥CA₁；

（2）解：作AD⊥BC于D，如圖所示：
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵cos∠ABC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BD=3，
∴BC=2BD=6，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△A₁B₁C≌△ABC，
∴△A₁B₁C的面積=12．

點(diǎn)評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理以及三角形面積的計(jì)算，求出BC和AD是解決問題（2）的關(guān)鍵．