Question

13．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，OA=60cm，OC=80cm．動點P從點O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止．設(shè)點P運動的時間為t s．
（1）過點P作對角線OB的垂線，垂足為點30．求PT的長y與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點P運動過程中，當點O關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）由四邊形AOBC為矩形，得到四個角為直角，對角線相等，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，即為OB的長，根據(jù)一對直角相等，一對公共角，得到三角形OPT與三角形OBC相似，由相似得比例，求出PT與t的關(guān)系式，即為y與t的關(guān)系式，確定出t的范圍即可；
（2）當O點關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點應(yīng)在一條直線上（如下圖所示），根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形AOP與三角形OCB相似，由相似得比例求出OP的長，確定出P坐標，設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，把A與P坐標代入求出k與b的值，即可確定出此時AP的解析式．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠BCO=90°，AC=OB，
∵OA=60cm，OC=80cm，
∴OB=AC=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100cm，
∵PT⊥OB，
∴∠OTP=∠OCB=90°，
∵∠POT=∠BOC，
∴△OPT∽△OBC，
∴$\frac{PT}{BC}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{PT}{60}$=$\frac{5t}{100}$，
∴y=PT=3t，
當點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為$\frac{80}{5}$=16s，
則t的取值范圍是0≤t≤16； 
（2）當O點關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點應(yīng)在一條直線上（如下圖所示），

由對稱性得：AP⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=∠OCB=90°，
∴△AOP∽△OCB，
∴$\frac{OP}{CB}$=$\frac{AO}{OC}$，即$\frac{OP}{60}$=$\frac{60}{80}$，
解得：OP=45，即點P的坐標為（45，0），
設(shè)直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{60=0+b}\\{0=45k+b}\end{array}\right.$，
解這個方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=60}\end{array}\right.$，
則此時直線AP的函數(shù)解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+60．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，以及對稱的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．