Question

8．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）如圖（1），已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4）請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；
（2）如圖（2），將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到△DBE，連結AD，DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）由于∠AOB=90°，則OB²+OA²=AB²=25，則找出格點M使它到O點的距離為5（坐標軸上除外）可得到滿足條件的四邊形OAMB；
（2）連接CE，如圖（2），利用旋轉的性質(zhì)得DE=AC，BC=BE，∠CBE=60°，則可判斷△BCE為等邊三角形，所以BC=CE，∠BCE=60°，再證明∠DCE=90°，然后利用勾股定理得到DC²+EC²=DE²，從而得到
DC²+BC²=AC²．

解答 解：（1）如圖（1），四邊形OAMB或四邊形OAM′B為所作；

（2）連接CE，如圖（2），
∵△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到△DBE，
∴DE=AC，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC^{2_，
即}四邊形ABCD是勾股四邊形．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了閱讀理解能力．