Question

16．觀察算式：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…
（1）請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：6×8+1=（7）²；
（2）用含n的等式表示上面的規(guī)律：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）用找到的規(guī)律解決下面的問題：
計(jì)算：（1+$\frac{1}{1×3}$）×（1+$\frac{1}{2×4}$）×（1+$\frac{1}{3×5}$）×…×（1+$\frac{1}{98×100}$）．

Answer 1

分析 （1）由題意得：第一個(gè)數(shù)字是連續(xù)的正整數(shù)，第二個(gè)數(shù)字比第一個(gè)數(shù)字大2，它們的積加1等于這兩數(shù)之間的數(shù)的平方；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律得結(jié)論；
（3）首先將括號(hào)里進(jìn)行通分，再將規(guī)律代入后約分可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，
∴5×7+1=36=6²，6×8+1=49=7²，
故答案為：7；
（2）觀察，發(fā)現(xiàn)：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…，
∴第n個(gè)等式為：n（n+2）+1=（n+1）²，
故答案為：n（n+2）+1=（n+1）²，
（3）（1+$\frac{1}{1×3}$）×（1+$\frac{1}{2×4}$）×（1+$\frac{1}{3×5}$）×…×（1+$\frac{1}{98×100}$），
=$\frac{1×3+1}{1×3}$×$\frac{2×4+1}{2×4}$×$\frac{3×5+1}{3×5}$×…×$\frac{98×100+1}{98×100}$，
=$\frac{{2}^{2}}{1×3}$×$\frac{{3}^{2}}{2×4}$×$\frac{{4}^{2}}{3×5}$×…×$\frac{9{9}^{2}}{98×100}$，
=2×$\frac{99}{100}$，
=$\frac{99}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，也是有理數(shù)的計(jì)算問題，從每1個(gè)式子，每1個(gè)因數(shù)的變化情況找規(guī)律，在第3問的計(jì)算中，注意約分情況，從而得出結(jié)論．