Question

6．如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為AD上的一點(diǎn)，且AN=$\frac{1}{4}$AD，試猜測△CMN是什么三角形，請證明你的結(jié)論．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

Answer 1

分析 可設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，利用勾股定理分別求出NC，MN，CM的值，計(jì)算得出MN²+MC²=NC²，根據(jù)勾股定理的逆定理可判定△CMN是直角三角形．

解答 解：△CMN是直角三角形．理由如下：
設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，則AB=BC=CD=AD=4a．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2a．
∵AN=$\frac{1}{4}$AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，滿足AM²+AN²=MN²，且AM=2a，AN=a，
∴MN=$\sqrt{5}$a．
同理可得：MC=$\sqrt{20}$a，NC=5a．
∵M(jìn)N²+MC²=（$\sqrt{5}$a）²+（$\sqrt{20}$a）²=25a²，NC²=（5a）²=25a²，
∴MN²+MC²=NC²，
∴△CMN是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查的是勾股定理及其逆定理，正方形的性質(zhì)，設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，通過計(jì)算得出MN²+MC²=NC²，是解題的關(guān)鍵．