Question

18．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2mx+m²+$\frac{4}{3}$m的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．當(dāng)拋物線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連結(jié)AB、BC、CD、DA．
（1）分別用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）判斷點(diǎn)B能否落在y軸負(fù)半軸上，并說(shuō)明理由．
（3）連結(jié)AC，設(shè)l=AC+BD，求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)P，以AP為邊作正方形APMN，MN在AP上方，如圖②，當(dāng)正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）根據(jù)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于零，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得答案；
（4）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)小于BP，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案．

解答 解：（1）配方，得
y=（x-m）²+$\frac{4}{3}$m，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{3}$m）
當(dāng)x=0時(shí)，y=m²+$\frac{4}{3}$m，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m²+$\frac{4}{3}$m）

（2）點(diǎn)B能落在y軸負(fù)半軸上，理由如下：
由頂點(diǎn)坐標(biāo)，得m＜0，
B點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于零，得
m²+$\frac{4}{3}$m=m（m+$\frac{4}{3}$）＜0，
由m＜0，得
m+$\frac{4}{3}$＞0，
得-$\frac{4}{3}$＜m＜0，
當(dāng)-$\frac{4}{3}$＜m＜0時(shí)，點(diǎn)B能落在y軸負(fù)半軸上；

（3）OB=m²+$\frac{4}{3}$m，OA=-$\frac{5}{3}$m，
l=AC+BD=2OB+2OA=2（m²+$\frac{4}{3}$m）+2×（-$\frac{5}{3}$m）
即l=2m²-$\frac{2}{3}$m；

（4）由題意，得
AP＜BP，
即-m＜m²+$\frac{4}{3}$m-$\frac{4}{3}$m
解得m（m+1）＞0，
由m＜0，得m＞-1，
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，AP＜BP，
正方形APMN與四邊形ABCD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，m的范圍是-1＜m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是配方法；解（2）的關(guān)鍵是解不等式；解（3）的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)得出AC+BD=2OB+2OA；解（4）的關(guān)鍵是由四邊形得出AP＜BP．