Question

7．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c與兩軸交于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，-$\frac{5}{2}$），直線y=kx+$\frac{3}{2}$，過點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D點(diǎn)．
（1）求拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c與直線y=kx+$\frac{3}{2}$的解析式；
（2）①點(diǎn)P是拋物線上A、D兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM∥y軸交線段AD于M點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥y軸于點(diǎn)E．問：是否存在P點(diǎn)，使得四邊形PMEC為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為m，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求m與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后可求得拋物線的解析式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線的解析式可求得k的值，從而可求得直線的解析式；
（2）①將y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$與y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$聯(lián)立，可求得點(diǎn)D（8，$\frac{15}{2}$），然后再求得點(diǎn)C（0，$\frac{3}{2}$）則CE=6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），則M的坐標(biāo)是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）．然后可得到PM的長(zhǎng)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)PM=CE，可求得x的值，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②在Rt△CDE中，依據(jù)勾股定理可知：DC=10，則△CDE的周長(zhǎng)是24，接下來(lái)，證明△PMN∽△CDE，依據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比可得到m與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法可求得m的最大值．

解答 （1）解：∵y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$．
∵直線y=kx+$\frac{3}{2}$經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴-2k+$\frac{3}{2}$=0，解得：k=$\frac{3}{4}$．
∴直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）①將y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$與y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$聯(lián)立，解得x=-2或x=8，
將x=8代入y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$得：y=$\frac{15}{2}$．
∴D（8，$\frac{15}{2}$）．
將x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$得：y=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，$\frac{3}{2}$）．
∴CE=6．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），則M的坐標(biāo)是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）．
∵點(diǎn)P在直線AD的下方，
∴PM=（$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
∵四邊形PMEC為平行四邊形，
∴PM=CE，
∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=6，解得x=2或x=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-3，當(dāng)x=4時(shí)，y=-$\frac{3}{2}$．
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）或（4，-$\frac{3}{2}$）時(shí)，四邊形PMEC為平行四邊形．

②在Rt△CDE中，DE=8，CE=6，依據(jù)勾股定理可知：DC=10．
∴△CDE的周長(zhǎng)是24．
∵PM∥y軸，
∴∠PMN=∠DCE．
又∵∠PNM=∠DEC=90°，
∴△PMN∽△CDE．
∴$\frac{{l}_{△PMN}}{{l}_{△CDE}}$=$\frac{PM}{DC}$，即$\frac{m}{24}$=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}{10}$．
化簡(jiǎn)整理得：m=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$．
配方得：m=-$\frac{3}{5}$（x-3）²+15，
∴當(dāng)x=3時(shí)，m有最大值，m的最大是15．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，依據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比列出m與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．