Question

20．以△ABC的邊AB，AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，M為EG的中點，連接AM．
（1）如圖1，∠BAC=90°，試判斷AM與BC關(guān)系？
（2）如圖2，∠BAC≠90°，圖1中的結(jié)論是否成立？若不成立，說明理由；若成立，給出證明．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AM=$\frac{1}{2}$BC．易知AM=$\frac{1}{2}$EG，只要證明△BAC≌△EAG即可解決問題；
（2）結(jié)論仍然成立．延長AM到N，使得AM=MN，連接EN、NG．只要證明△BAC≌△AEN，即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：AM=$\frac{1}{2}$BC．

理由：∵∠BAC=∠EAG=90°，EM=GM，
∴AM=$\frac{1}{2}$EG，
在△BAC和△EAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△EAG，
∴BC=EG，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC．

（2）（1）中結(jié)論仍然成立．

理由：延長AM到N，使得AM=MN，連接EN、NG．
∴EM=MG，AM=MN，
∴四邊形AENG是平行四邊形，
∴EN=AG，EN∥AG，
∴∠NEA+∠EAG=180°，
∵∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∴∠NEA=∠BAC，
∵AB=AE，AC=EN，
∴△BAC≌△AEN，
∴BC=AN，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行時四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．