Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是AB的中點(diǎn)，
（1）求∠A的對數(shù)；
（2）探究AB與DE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先求出∠ACD和∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE，根據(jù)等邊對等角可得∠ACE=∠A，再求出∠BCE，然后求出∠DCE=45°，從而判斷出△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠ACD=90°×$\frac{1}{1+3}$=22.5°，
∠BCD=90°×$\frac{3}{1+3}$=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ACD=90°-67.5°=22.5°；

（2）∵E是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠BCE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$DE，
∴AB=2$\sqrt{2}$DE．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．