Question

2．（1）問(wèn)題：如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求證：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．
（3）應(yīng)用：請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：
如圖③，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用兩角互余的性質(zhì)得出∠PDA=∠CPB，進(jìn)而得出△ADP∽△BPC，求出答案即可；
（2）利用∠DPC=∠A=∠B=θ，進(jìn)而得出∠ADP=∠CPB，得出△ADP∽△BPC，求出答案即可；
（3）首先得出BC的長(zhǎng)，再依據(jù)（1）（2）的結(jié)論AD•BC=AP•BP，進(jìn)而得出t的值．

解答 解：（1）∵∠DPA+∠CPB=90°，∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠PDA=∠CPB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；

（2）結(jié)論：AD•BC=AP•BP仍然成立，
理由：∵∠ADP+∠APD=180°-θ，∠DPA+∠CPB=180°-θ，
∴∠ADP=∠CPB，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；

（3）作DE⊥AB，當(dāng)⊙D與AB相切時(shí)，半徑r=DE=DC，
∵DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DC=4，
∴BC=1，
依據(jù)（1）（2）的結(jié)論AD•BC=AP•BP，
∴5×1=t（6-t），
∴t²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s或5s．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．