Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，PB交⊙O于點C，PD平分∠APB交AB于點D，交AC于點E．
（1）求證：AE=AD；
（2）若PE=3，DE=2，求cos∠PEC的值．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角為90°得：∠PAB=∠ACB=90°，再由同角的余角相等和外角定理得：∠EDA=∠DEA，根據(jù)等角對等邊得：AE=AD；
（2）作輔助線，利用同角的三角函數(shù)列式求AD的長，根據(jù)（1）中的結(jié)論：AD=AE，得：∠PEC=∠AED=∠ADF，根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵PA為⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴∠PAB=90°，∠ACB=90°
∴∠PAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°
∴∠PAC=∠B，
∵∠EDA=∠B+∠BPD，∠DEA=∠PAC+∠APD，
∵∠BPD=∠APD，
∴∠EDA=∠DEA，
∴AE=AD；

（2）過A作AF⊥ED于F，
∵AE=AD，
∴EF=FD=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠AFD=∠PAD=90°，
∴cos∠ADF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{AD}{PD}$，
∴$\frac{1}{AD}=\frac{AD}{3+2}$，
∴AD=$±\sqrt{5}$，
∵AD＞0，
∴AD=-$\sqrt{5}$不符合題意，舍去，
∴AD=$\sqrt{5}$，
∵∠PEC=∠AED=∠ADF，
∴cos∠PEC=cos∠ADF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，熟練運用同角或等角的三角函數(shù)列式，求線段的長，或運用三角形相似解決問題．