Question

14．如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動，連接DP交AC于點(diǎn)Q，
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時，都有DQ=BQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C，在整個過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△ADQ恰好為等腰三角形．

Answer 1

分析 1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“邊角邊”證明△ADQ≌△ABQ即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF=AE=AF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$，則有S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有$\frac{QE}{AP}$=$\frac{DE}{DA}$解得AP值；
（3）點(diǎn)P運(yùn)動時，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時，QD=QA，此時△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③當(dāng)AD=AQ=4時，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對角線的性質(zhì)得到CP的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，
在△ADQ和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=BAC}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS），
∴DQ=BQ；
（2）解：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$時，
過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，如圖1所示：
則四邊形AFQE為正方形，
∴QE=QF=AE=AF，
∵在邊長為4的正方形ABCD中，
∴S_{正方形ABCD}=16，
∴$\frac{1}{2}$AD×QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{6}$×16=$\frac{8}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴$\frac{QE}{AP}$=$\frac{DE}{DA}$，即$\frac{\frac{4}{3}}{AP}=\frac{4-\frac{3}{4}}{4}$，
解得AP=2，
∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$；
（3）解：如圖2所示：
若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①當(dāng)AD=DQ時，則∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P為C點(diǎn)，
②當(dāng)AQ=DQ時，則∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P為B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=$\sqrt{2}$BC-BC=（$\sqrt{2}$-1）BC
∵AD∥BC，
∴△ADQ∽△CQP，
∴$\frac{CP}{AD}$=$\frac{CQ}{AQ}$，即可得$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{AD}{AQ}$=1，
∴CP=CQ=（$\sqrt{2}$-1）BC=4（$\sqrt{2}$-1）
綜上所述：P在B點(diǎn)，C點(diǎn)，或在CP=4（$\sqrt{2}$-1）處，△ADQ是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，（3）需要分類討論．