Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥MC于點(diǎn)F，設(shè)PF的長(zhǎng)為t，
①求MN與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
②當(dāng)MN取最大值時(shí)，連接ON，直接寫(xiě)出sin∠BON的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法得出a，b的值；
（2）①已知MN=d，PF=t，由圖可知MN=MF+FN，不妨將MF和FN用PF代替，即可得到MN與PF的關(guān)系：利用45°的直角三角形和平行線性質(zhì)可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得 $\frac{BD}{OD}$=$\frac{MF}{PF}$=3，從而有MF=3PF=3t，從而得出d與t的函數(shù)關(guān)系；
②根據(jù)過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AB平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，MN取最大，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂線間的關(guān)系，可得ON、BG的解析式，根據(jù)勾股定理，可得OB、BG的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．

解答 解：（1）∵y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A，
∴A（4，0），
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且直線y=-x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴B（1，3），
∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x；
（2）①如圖1，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)E，

∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵M(jìn)C⊥x軸，
∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，
∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵M(jìn)E∥OB，
∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{MF}{PF}$=3，
∴MF=3PF=3t，
∵M(jìn)N=MF+FN，
∴MN=3t+t=4t；
②如圖2作BG⊥ON于G點(diǎn)，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AB平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，MN取最大，
∴設(shè)與AB平行的直線y=-x+b，
當(dāng)-x²+4x=-x+b；即x²-5x+b=0，
△=25-4b=0，解b=$\frac{25}{4}$．
∴直線y=-x+$\frac{25}{4}$，
∴拋物線y=-x²+4x與y=-x+的交點(diǎn)M（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{5}{2}$+4=$\frac{3}{2}$，即N（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
ON的解析式為y=$\frac{3}{5}$x，
∵BG⊥ON，
設(shè)BG的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+b，
將B（1，3）代入y=-$\frac{5}{3}$x+b，
解得b=$\frac{14}{3}$，
BG的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{14}{3}$，
聯(lián)立BG、ON得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x}\\{y=-\frac{5}{3}x+\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{70}{34}}\\{y=\frac{42}{34}}\end{array}\right.$，即G（$\frac{70}{34}$，$\frac{42}{34}$）．

由勾股定理，得OB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
BG=$\sqrt{（\frac{70}{34}-1）^{2}+（\frac{42}{34}-3）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
sin∠BON=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{\frac{6\sqrt{34}}{17}}{\sqrt{10}}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，垂線間的關(guān)系，勾股定理，運(yùn)用知識(shí)較多，綜合性強(qiáng)，題目難度較大．