Question

2．已知拋物線L₁：y=-$\frac{1}{2}$x²繞點(diǎn)（0，-0.5）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L₂：y=ax²+c．
（1）求拋物線L₂的解析式；
（2）如圖，將拋物線L₂經(jīng)過平移得到拋物線L₃：y=ax²-$\frac{3}{2}$x-2，拋物線L₃ 與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，問拋物線L₃上是否存在一點(diǎn)P，x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖，將（1）中的拋物線經(jīng)過上、下平移得到拋物線L₄：y=ax²+k，一扇形OMN的頂點(diǎn)O放置在原點(diǎn)O處，點(diǎn)N在x軸正半軸上，點(diǎn)M在第一象限，且∠MON=45°，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），若拋物線L₄與扇形OMN的邊界總有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱性找出原點(diǎn)（0，0）關(guān)于（0，-0.5）的對稱點(diǎn)，由此可得出拋物線L₂：y=ax²+c的頂點(diǎn)為（0，-1），再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出a的值，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線L₂的解析式；
（2）假設(shè)存在，結(jié)合（1）找出拋物線L₃的解析式，分別代入x=0、y=0找出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再分以線段AC為對角線和以線段AC為邊兩種情況考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P在拋物線L₃上，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）找出當(dāng)點(diǎn)N在拋物線L₄上時k的值，再根據(jù)拋物線與直線OM相切利用根的判別式找出此時的k值，找出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)可得出此時切點(diǎn)在線段OM上，綜合兩個k值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）原點(diǎn)（0，0）關(guān)于點(diǎn)（0，-0.5）的對稱點(diǎn)為（0，-1），
∴拋物線L₂：y=ax²+c的頂點(diǎn)為（0，-1）．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：a=-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
將點(diǎn)（0，-1）代入y=$\frac{1}{2}$x²+c中，得：c=-1，
∴拋物線L₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-1．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0）．
由（1）可知：拋物線L₃：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
當(dāng)y=0時，有$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0）．
當(dāng)x=0時，y=-2，
∴C（0，-2）．
以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形分兩種情況（如圖3所示）：
①當(dāng)線段AC為對角線時，∵AQ在x軸上，
∴CP∥AQ∥x軸．
當(dāng)y=-2時，有$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，
解得：x=3或x=0（舍去），
∴P（3，-2）．
∵A（-1，0），C（0，-2），
∴此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1+0-3，0-2-（-2）），即（-4，0）；
②當(dāng)線段AC為邊時，∵A（-1，0），C（0，-2），Q（m，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+1，-2）或（m-1，2）．
當(dāng)y=-2時，有$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，
解得：x=3或x=0（舍去），
∴m+1=3，解得：m=2；
當(dāng)y=2時，有$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=2，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴m-1=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，解得：m=$\frac{5±\sqrt{41}}{2}$．
綜上可知：拋物線L₃上存在一點(diǎn)P，x軸上存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）或（-4，0）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．
（3）由（1）可知：拋物線L₄：y=$\frac{1}{2}$x²+k．
過點(diǎn)M做ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖4所示．
∵OM=2，∠MOE=45°，
∴△MOE為等腰直角三角形，
∴OE=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴直線OM的解析式為y=x．
當(dāng)點(diǎn)N（2，0）在拋物線L₄：y=$\frac{1}{2}$x²+k上時，有0=$\frac{1}{2}$×2²+k，
解得：k=-2；
當(dāng)拋物線L₄：y=$\frac{1}{2}$x²+k與直線OM相切時，將y=x代入y=$\frac{1}{2}$x²+k得：x²-2x+2k=0，
△=（-2）²-4×2k=0，解得：k=$\frac{1}{2}$，
將k=$\frac{1}{2}$代入x²-2x+2k=0得：x²-2x+1=（x-1）²=0，
解得：x=1．
∵0＜1＜$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)相切時，切點(diǎn)在線段OM上，
∴若拋物線L₄與扇形OMN的邊界總有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為-2＜k＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出拋物線L₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次項(xiàng)系數(shù)；（2）分以線段AC為對角線和以線段AC為邊兩種情況考慮；（3）找出拋物線L₄過點(diǎn)N和與直線OM相切時的k值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示出第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．