Question

8．如圖1，ABCD為正方形，將正方形的邊CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE，記∠BCE=α，連接BE，DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于F，交直線BE于H．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，如圖1，則∠BHC=45°；
（2）當(dāng)45°＜α＜90°，如圖2，線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你通過探究，寫出這個(gè)關(guān)系式：BH+EH=$\sqrt{2}$CH（不需證明）；
（3）當(dāng)90°＜α＜180°，其它條件不變（如圖3），（2）中的關(guān)系式是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并簡(jiǎn)要證明．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥BH于G，由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCE=α=60°，CB=CD=CE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCG=∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCE=30°，∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，求出∠GCH=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠DCE）=45°即可；
（2）作CG⊥BH于G，同（1）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出CH=$\sqrt{2}$GH，由等腰三角形的性質(zhì)得出BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，即可得出結(jié)論；
（3）作CG⊥BH于G，同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=$\sqrt{2}$GH，BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作CG⊥BH于G，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CE=CB，∠BCE=α=60°，
∴CD=CE，∠BCG=∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCE=30°，
∵CF⊥DE，
∴∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠GCH=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠DCE）=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
故答案為：45°；

（2）BH+EH=$\sqrt{2}$CH；理由如下：
作CG⊥BH于G，如圖2所示：
同（1）得：∠BHC=45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$GH，
∵CB=CE，CG⊥BE，
∴BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，
∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=$\sqrt{2}$CH；
故答案為：BH+EH=$\sqrt{2}$CH；

（3）當(dāng)90°＜α＜180°，其它條件不變，（2）中的關(guān)系式不成立，BH-EH=$\sqrt{2}$CH；理由如下：
作CG⊥BH于G，如圖3所示：
同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=$\sqrt{2}$GH，BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，
∴BH-EH=BG+GH-EH=BG+EG-EH-EH=2GH=$\sqrt{2}$CH．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．