Question

6．已知：⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E
（1）如圖1，若A是弧CD的中點(diǎn)，求證：∠B+∠E=90°；
（2）如圖2，若D是弧AB的中點(diǎn)，AB=10，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出∠BAD=∠BAC，根據(jù)平行線得出∠E=∠DAB=∠CAB，根據(jù)圓周角定理得出∠BAC+∠B=90°，即可得出答案；
（2）連接CA，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC于G，解直角三角形求出AF、CG、CF、AG、EG，即可得出答案．

解答 證明：（1）連接CA，
∵A弧為CD的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠BAC，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠DAB=∠CAB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠E+∠B=90°；


（2）∵D為弧AB的中點(diǎn)，
∴DA=BD，
連接CA，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC于G，
則∠CFB=∠AFC=∠AGC=90°，
所以AGCF是矩形，
∴AF=CG，AG=CF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CFB=90°，∠A+∠ACF=90°，
∵AB=10，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴AC=6，BC=8，
∴CF=AG=$\frac{24}{5}$，AF=GC=$\frac{18}{5}$，
∵∠E+∠B=90°，
∴tanB=cotE，
∴$\frac{EG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{18}{5}$，
∴EC=EG+CG=$\frac{42}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．