Question

18．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0且k≠0
（1）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；
（3）我們定義：若一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x₁、x₂（x₁＞x₂），滿足2＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜3，則稱這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)“夢(mèng)想根”．如果關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式△=（k+1）²≥0，即可證出方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩根分別為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁+x₂=$\frac{k-1}{k}$，再根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)即可得出關(guān)于k的分式方程，解方程即可得出k的值；
（3）利用十字相乘法即可求出x₁=-$\frac{1}{k}$、x₂=1，根據(jù)方程有兩個(gè)“夢(mèng)想根”的定義即可得出關(guān)于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍．

解答 （1）證明：∵在方程kx²-（k-1）x-1=0（k≠0）中，△=[-（k-1）]²-4×k×（-1）=（k+1）²≥0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：設(shè)方程的兩根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=$\frac{k-1}{k}$，
∵x₁、x₂互為相反數(shù)，
∴$\frac{k-1}{k}$=0，解得：k=1，
經(jīng)驗(yàn)證k=1是方程$\frac{k-1}{k}$=0的解．
∴當(dāng)k=1時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)．
（3）解：∵kx²-（k-1）x-1=（kx+1）（x-1）=0，
∴x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=1．
∵關(guān)于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，
∴2＜-$\frac{1}{k}$＜3或2＜$\frac{1}{-\frac{1}{k}}$=-k＜3，
解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜-$\frac{1}{3}$或-3＜k＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元一次不等式，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式是解題的關(guān)鍵．