Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，
（1）求證：CF=BG；
（2）延長CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作CP∥AG交BE的延長線于點(diǎn)P，求證：PB=CP+CF；
（3）在（2）問的條件下，當(dāng)∠GAC=2∠FCH時(shí)，若S_△AEG=3$\sqrt{3}$，BG=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA證明△BCG≌△CAF，則CF=BG；
（2）先證明△ACG≌△BCG，得∠CAG=∠CBE，再證明∠PCG=∠PGC，即可得出結(jié)論；
（3）作△AEG的高線EM，根據(jù)角的大小關(guān)系得出∠CAG=30°，根據(jù)面積求出EM的長，利用30°角的三角函數(shù)值依次求AE、EG、BE的長，所以CE=3+$\sqrt{3}$，根據(jù)線段的和得出AC的長．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴CF=BG；
（2）如圖2，∵PC∥AG，
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP；
（3）如圖3，過E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S_△AEG=$\frac{1}{2}$AG•EM=3$\sqrt{3}$，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG=AG=6，
∴$\frac{1}{2}$×6×EM=3$\sqrt{3}$，
EM=$\sqrt{3}$，
設(shè)∠FCH=x°，則∠GAC=2x°，
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，
∵∠ACH=45°，
∴2x+x=45，
x=15，
∴∠ACF=∠GAC=30°，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2$\sqrt{3}$，
AM=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴M是AG的中點(diǎn)，
∴AE=EG=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BG+EG=6+2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECB中，∠EBC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE=3+$\sqrt{3}$，
∴AC=AE+EC=2$\sqrt{3}$+3+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明兩線段相等時(shí)，一般都是證明兩線段所在的三角形全等，因此第一問只需要證明△BCG≌△CAF即可；第3問，如何得出30°角和作輔助線，利用到S_△AEG=3$\sqrt{3}$列式是突破口．