Question

15．如圖，在正方形ABCD中，E在CD邊上，F(xiàn)在BC邊上，AB=1，DE=2CE，BF=FC，BE與DF交于點(diǎn)G，則圖中陰影部分（即四邊形ABGD）的面積是（　　）

• A． $\frac{9}{14}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)E作EH∥FG．由DE=2CE，BF=FC可知FC=FB=$\frac{1}{2}$，EC=$\frac{1}{3}$，可求得△DFC的面積=$\frac{1}{4}$，由EH∥DF，可得到BF：BH=3：5，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可求得△BHE的面積=$\frac{5}{36}$，最后根據(jù)陰影部分的面積=正方形的面積-△BGF的面積-△DFC的面積計(jì)算即可．

解答 解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EH∥FG．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1．
∵DE=2CE，BF=FC，
∴FC=FB=$\frac{1}{2}$，EC=$\frac{1}{3}DC=\frac{1}{3}×1$=$\frac{1}{3}$．
∴${S}_{△DFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$．
∵EH∥DF，
∴$\frac{HC}{FC}=\frac{EC}{CD}=\frac{1}{3}$．
∴$HC=\frac{1}{3}FC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
∴BH=$\frac{5}{6}$．
∴BF：BH=3：5．
∴${S}_{△BHE}=\frac{1}{2}BH•EC=\frac{1}{2}×\frac{5}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{36}$．
∵GF∥EH，
∴△BFG的面積：△BEH的面積=9：25．
∴△BFG的面積：$\frac{5}{36}$=9：25．
∴△BFG的面積=$\frac{1}{20}$．
∴陰影部分的面積=正方形的面積-△BGF的面積-△DFC的面積=1-$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式，利用相似三角形的性質(zhì)求得△BFG的面積是解題的關(guān)鍵．