Question

10．如圖，已知△ABC中，∠A=60°，D為AB上一點，且AC=2AD+BD，∠B=4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是20°．

Answer 1

分析 通過作輔助線構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到角相等，邊相等，根據(jù)三角形全等，得到角相等，利用外角的性質(zhì)列方程求解．

解答 解：如圖延長AB到E使BE=AD，連接CE，
∴AE=AD+DB+BE=2AD+BD，
∵AC=2AD+BD，
∴AE=AC，∵∠A=60°，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠E=∠ACE=60°，
∵∠B=4∠ACD，
設(shè)∠ACD=x，則∠ABC=4x，
在△ADC與△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠E}\\{AC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EBC，
∠ACD=∠ECB=x，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴4x=60°+x，∴x=20°，
∴∠BCD=60°-20°-20°=20°，
故答案為：20°

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，外交的性質(zhì)，列方程求解等知識點．