Question

20．如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的切線垂直，垂足為D，連AC．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖2，延長AB，交直線DC于E，若$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，求tan∠E．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，而AD⊥CD，所以O(shè)C∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠2，加上∠1=∠2，所以∠2=∠3，于是可判斷AC平分∠DAB；
（2）連結(jié)OC，如圖2，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可設(shè)AD=4x，AB=5x，則OC=OA=$\frac{5}{2}$x，接著證明△EOC∽△EAD，利用相似比可計(jì)算出EO=$\frac{25}{6}$x，然后在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CE=$\frac{10}{3}$x，再利用正切定義求解．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖1，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
而AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：連結(jié)OC，如圖2，由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可設(shè)AD=4x，AB=5x，則OC=OA=$\frac{5}{2}$x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{\frac{5}{2}x}{4x}$=$\frac{EO}{EO+\frac{5}{2}x}$，解得EO=$\frac{25}{6}$x，
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{6}x）^{2}-（\frac{5}{2}x）^{2}}$=$\frac{10}{3}$x，
∴tanE=$\frac{OC}{CE}$=$\frac{\frac{5}{2}x}{\frac{10}{3}x}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形．