Question

3．如圖，等腰△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D在AC上，線(xiàn)段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到BE，EF∥DB交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABD≌△FBE．
（2）求證：BD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)可求得BD=BE，∠DBE=90°，再結(jié)合條件AB=CB可判定△ABD≌△FBE；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠E=∠ADB，再根據(jù)EF∥DB，求得∠E=90°，即可得出BD⊥AC．

解答 證明：（1）由旋轉(zhuǎn)可得，BD=BE，∠DBE=90°，
∴∠EBF+∠DBC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠FBE，
在△ABD和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠FBE}\\{DB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBE（SAS）；

（2）∵△ABD≌△FBE，
∴∠E=∠ADB，
∵EF∥BD，∠DBE=90°，
∴∠E=90°，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．解題時(shí)注意：在圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．