Question

18．如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業(yè)時(shí)突遇特大風(fēng)浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發(fā)出求救信號(hào)，此時(shí)一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)，于是決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方向以每小時(shí)30海里的速度航行半小時(shí)到達(dá)C處，同時(shí)捕魚船低速航行到A點(diǎn)的正北1.5海里D處，漁政船航行到點(diǎn)C處時(shí)測得點(diǎn)D在南偏東53°方向上．
（1）求CD兩點(diǎn)的距離；
（2）漁政船決定再次調(diào)整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點(diǎn)E處相會(huì)合，求∠ECD的正弦值．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F(xiàn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出CG，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出CD的長；
（2）如圖，設(shè)漁政船調(diào)整方向后t小時(shí)能與捕漁船相會(huì)合，由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，根據(jù)三角函數(shù)表示出EH，在Rt△EHC中，根據(jù)正弦的定義求值即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F(xiàn)，
∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°-60°=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×（30×$\frac{1}{2}$）=7.5，
∵∠DAG=90°，
∴四邊形ADFG是矩形，
∴GF=AD=1.5，
∴CF=CG-GF=7.5-1.5=6，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，
∵∠DCF=53°，
∴COS∠DCF=$\frac{CF}{CD}$，
∴CD=$\frac{CF}{COS53°}$=$\frac{6}{\frac{3}{5}}$=10（海里）．
答：CD兩點(diǎn)的距離是10；
（2）如圖，設(shè)漁政船調(diào)整方向后t小時(shí)能與捕漁船相會(huì)合，
由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，
過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，則∠EHD=∠CHE=90°，
∴sin∠EDH=$\frac{EH}{ED}$，
∴EH=EDsin53°=3t×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$t，
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{\frac{12}{5}t}{30t}$=$\frac{2}{25}$．
答：sin∠ECD=$\frac{2}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．