Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC邊的中線，過點C作CF⊥AE，垂足為點F，過點B作BD⊥BC交CF的延長線于點D．
（1）試證明：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求線段BD的長度．

Answer 1

分析 （1）由條件證明△ACE≌△CBD即可證得AE=CD；
（2）由中線可求得CE的長，再由全等三角形的性質可知CE=BD，可求得BD．

解答 （1）證明：
∵CF⊥AE，BD⊥BC，
∴∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠CEA+∠BCD=∠BCD+∠D=90°，
∴∠CEA=∠D，
在△ACE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠CDB}\\{∠ACE=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE=CD；

（2）解：
∵AC=BC=12cm，AE是BC邊的中線，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∵△ACE≌△CBD，
∴BD=CE=6cm．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊、對應角相等）是解題的關鍵．