Question

17．如圖，△APB和△DPC是兩個(gè)全等的等邊三角形，AP⊥DP，有以下四個(gè)結(jié)論：①∠PBC=15°；②AC=BC；③AD∥BC；④直線PC⊥AB，其中正確的結(jié)論有①②③④（填序號）．

Answer 1

分析 由條件可求得∠BPC=150°，利用等腰三角形的性質(zhì)可求得∠PBC的度數(shù)，可判斷①；由條件可證明△APC≌△BPC，可判斷②；可分別求得∠DAB=105°，∠ABC=75°，利用平行線的判定可判斷③；利用等腰三角形的性質(zhì)可知PC為AB的垂直平分線，可判斷④．

解答 解：
∵△APB和△DPC是兩個(gè)全等的等邊三角形，AP⊥DP，
∴∠APB=∠DPC=60°，∠APD=90°，
∴∠BPC=360°-90°-60°-60°=150°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=$\frac{1}{2}$×（180°-150°）=15°，故①正確；
由條件可得∠APC=90°+60°=150°，
∴∠APC=∠BPC，
在△APC和△BPC中
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠APC=∠BPC}\\{PC=PC}\end{array}\right.$
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴AC=BC，故②正確；
∵PA=PD，∠APD=90°，
∴∠PAD=45°，
∴∠DAB=45°+60°=105°，
∵∠PBA=60°，∠PBC=15°，
∴∠ABC=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，故③正確；
∵△APC≌△BPC，
∴∠ACP=∠BCP，且AC=BC，
∴PC⊥AB，故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論為①②③④，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，充分利用圖形中角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．