Question

4．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10，PB=5，∠CAB的平分線與BC和圓O分別交于點D和E．
（1）求證：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PA}{PC}$；
（2）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到△PAB∽△PCA，于是得到結(jié)論；
（2）由切割線定理求出PC=40，BC=30，根據(jù)已知條件推出△ACE∽△ADB，列比例式即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵PA為圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，
∵∠P=∠P，
∴△ABP∽△PAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PA}{PC}$；

（2）連接AO，CE．
∵PA為圓O的切線，PBC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=10，PB=5，
∴PC=$\frac{P{A}^{2}}{PB}$=$\frac{1{0}^{2}}{5}$，
∴PC=20，
∴BC=15，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=225，
由（1）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=3$\sqrt{5}$×$6\sqrt{5}$=90．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．