Question

11．已知點(diǎn)A（0，0），B（3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且S_△ABC=6．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得線段AB的長度為3，再由△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•AB=6，可求得AC的長度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由題意可知使△BCD是等腰三角形，需分情況討論：①當(dāng)DC=BC時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)BC=BD時(shí)，可分當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況求得；③當(dāng)BD=CD時(shí)，作BC的中垂線交x軸于D，垂足為E，首先證明△BDE∽△BCA，再利用相似三角形的性質(zhì)，得到比例式，利用比例式求得線段BD的長度，從而求得線段AD的長度，即可得到坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴AB=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=6，
$\frac{1}{2}$×3•AC=6，
∴AC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，4）；
（2）∵AB=3，AC=4，
∴CB=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
若使△BCD是等腰三角形，可分情況討論：
①如圖1，當(dāng)DC=BC時(shí)，
∵x軸⊥y軸，
∴AD=AB=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-3，0）；
②如圖2，當(dāng)BC=BD時(shí)，
點(diǎn)D的位置可在點(diǎn)B的左側(cè)，也可在點(diǎn)B的右側(cè)，
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)設(shè)為D₁，
∵BC=5，
∴D₁B=5，
∵AB=3，
∴D₁A=5-3=2，
∴點(diǎn)D₁坐標(biāo)為：（-2，0）；
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)設(shè)為D₂，
∵BC=5，
∴BD₂=5，
∵AB=3，
∴AD₂=8，
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)為：（8，0）；
③如圖3，當(dāng)BD=CD時(shí)，作BC的中垂線交x軸于D，垂足為E，
∵BC=5，
∴BE=$\frac{5}{2}$，
∵∠BAC=∠BED=90°，
∴∠BDE+∠B=∠BCA+∠B=90°，
∴∠BDE=∠BCA，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{3}=\frac{BD}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{6}$，
∴AD=$\frac{25}{6}$-3=$\frac{7}{6}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-$\frac{7}{6}$，0），
故在x軸上的點(diǎn)D，使點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-3，0）、（-2，0）、（8，0）、（-$\frac{7}{6}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．